Klubcsapatok
Saprissa
Navas 2005. november 6-án debütált a Deportivo Saprissa gárdájában egy Deportiva Carmelita elleni bajnokin. Hamar feltűnt tehetsége, gyakran kivédte az ellenfelek “szemét” is. Az utolsó két idényében ő volt a csapat első számú hálóőre. Összesen 6 Costa Rica-i bajnoki címet nyert és 2005-ben elhódította a CONCACAF-bajnokok ligája trófeáját is. Navas része volt a 2005-ös FIFA-klubvilágbajnokságon az egészen a 3. helyig menetelő keretnek is.
Albacete
2010 júliusában aláírt a spanyol másodosztályban, egykor Diego Costát is foglalkoztató Albacetebe. Első, egyben utolsó szezonjában a 42 meccsből 36-on kapott lehetőséget, azonban az egyesület az utolsó helyen végzett a tabellán.
Levante
A 2011–12-es bajnokságban egy évre a spanyol élvonalban (La Liga) szereplő Levante UD-be került kölcsönbe. 2012. május 13-án az utolsó fordulóban kapott lehetőséget, amelyen 3–0-ra legyőzték az Athletic Bilbao csapatát, ezzel a Levante történelme során először indulási jogot szerzett az Európa-ligába. 2012 júliusában csatlakozott végleg az egyesülethez, ahol 3 évre írt alá.
A 2013–14-es szezonra Gustavo Munúa távozása után Navas lett az első számú kapus. 39 találkozóból 36-on ő védett. 2014 márciusában megkapta a “hónap La Liga játékosa” címet, ezzel ő lett az első kapus kiérdemelte ezt az elismerést.
Real Madrid
2014. augusztus 3-án a világ egyik legerősebb klubja, a Real Madrid CF igazolta le 10 millió euróért. Itt többnyire csere volt, amíg Iker Casillas 2015 nyarán eligazolt a csapattól. Ezután átvette a “karmesteri pálcát”, és minden mérkőzésen kezdő volt. A 2015–16-os UEFA-bajnokok ligája csoportköréből 4 meccs után továbbjutottak. A 2016–17-es idényben a Real Madrid lett a bajnok, ezenkívül a 2016–17-es Bajnokok Ligája kiírásban a döntőig menetelek, amelyet végül az olasz Juventus ellen 4–1 arányban el is hódítottak.
A 2018–19-es évadban a fiatal belga tehetség, Thibaut Courtois-val kellett versenyeznie az első számú kapus posztjáért.
Paris Saint-Germain
2019. szeptember 2-án 4 évre, 2023 júniusáig aláírt a francia sikercsapathoz, a Paris Saint-Germain FC-hez, amely üzlet keretében a párizsiak kölcsönbe átadták Alphonse Aréolát a királyiaknak, ezzel ő lett az első Costa Rica-i labdarúgó a klubnál. 12 nappal később debütált a Ligue 1-ben egy sima 1–0-s győzelem során az RC Strasbourg ellen. 2020. július 24-én ő védett végig a Saint-Étienne elleni, végül megnyert francia kupa döntőjében. Július 31-én a Lyon elleni ligakupa döntőben büntetőkkel 6–5-re nyert a PSG, Navas pedig egy 11-est kivédett.
A válogatottban
Nagy szerepe volt abban, hogy hazája válogatottja kijutott a 2014-es brazíliai labdarúgó-világbajnokságra. Itt Costa Rica a legjobb 8 közé is eljutott, Keylor pedig a torna egyik legjobb kapusa lett.
