Klubcsapatok
AS Monaco
Kurzawa az AS Monaco saját nevelésű játékosa. Hivatalosan 2010. szeptember 22-én debütált a felnőttek között a francia ligakupa harmadik fordulójában az RC Lens ellen és 65 percet töltött a pályán kezdőként. Csapata 1–0-s győzelmet aratott. Három nappal később megejtette bajnokiságbeli bemutatkozását is a Loirent elleni, melyen 1–2 arányban kikaptak. Ezen kívül még négy meccsen vetették be, mindegyiken kezdőként. 2011. május 1-jén a 60. perben kiállították a Saint-Étienne elleni, 1–1-re végződő találkozón. A szezon végén a hercegségi gárda kiesett a másodosztályba (Ligue 2), ahol összesen 4 pályára lépést jegyeztek fel a neve mellé. A 2012–13-as évadban bajnokok lettek a második vonalban és ezzel újra kivívták az első osztályban (Ligue 1) lévő szereplést.
A 2013–14-es idényben már alapembernek számított és 28 pályára lépésével, 5 góljával és kiváló védői munkájával segítette az együttesét ahhoz, hogy a Paris Saint-Germain mögött ezüstérmet szerezzenek rögtön újonc évükben. Ennek köszönhetően bekerült a 2013–14-es Ligue 1 év csapatába is.
A 2015–16-os Bajnokok Ligája kiírásban mint az oda, mint a visszavágón eredményes volt a svájci Young Boys ellen, segítve az összesített 7–1-es sikerhez a Monacót.
Paris Saint-Germain
2015. augusztus 27-én ötéves szerződést írt alá a többszörös bajnokcsapathoz, a Paris Saint-Germainhez 23-25 millió euró ellenében. Szeptember 11-én mutatkozott be Maxwell cseréjekén a 67. percben a Bordeaux elleni 2–2-es döntetlen során. Október 25-én szerezte első gólját a Saint-Étienne elleni, 4–1-es győzelemmel végződő bajnokin.
2016. augusztus 6-án segített Javier Pastorenek gólt szerezni, hozzájárulva így a 4–1-es francia szuperkupa győzelemhez a Lyon ellen. Hat nappal később ő szerezte a csapat legelső gólját a 2016–17-es évadban a Bastia ellen. 2017. március 8-án öngólt vétett az FC Barcelona elleni Bajnokok Ligája nyolcad döntőjének második találkozóján. A PSG a meccset 6–1-re elvesztette.
2017. október 31-én a Bajnokok Ligája csoportkörének második mérkőzésén 3 gólt is szerzett a belga RSC Anderlecht ellen, amellyel a modern Bajnokok Ligája történetében ő lett az első védő, aki mesterhármast szerzett a sorozatban.
2020. június 29-én bejelentették, hogy Kurzawa 2024-ig meghosszabbította kontraktusát a párizsi klubbal.
A 2020–21-es évad 3. fordulójának rangadóján, a Marseille ellen ő is részese volt az összecsapás végén kitört tömegverekedésnek, amely következtében piros lapot kapott és elhagyta a pályát. Nem sokkal később a Francia labdarúgó-szövetség bejelentette, hogy ő kapja a legtöbb, 6 mérkőzésről való eltiltást a csapatból.
A válogatottban
Kurzawa édesapja guadeloupeai, míg édesanyja lengyel származású, így játszhatna a lengyel válogatottban is.
Végigjárta a francia korosztályos nemzeti csapatokat. 2014. október 14-én a 2015-ös U21-es Európa-bajnokság kvalifikációs selejtezőjén gólt szerzett Svédország ellen és egy csúfolós gólörömmel hergelte annak fiataljait, de a meccset végül a svédek nyerték meg 4–1-re, ez pedig a franciák kiesését jelentette és csúfolódást kamatostól visszakapta. A tornán is végül a svédek diadalmaskodtak.
2014. november 14-én debütált a francia felnőtt válogatottban az utolsó 20 perben Lucas Digne cseréjeként egy Albánia elleni 1–1-es barátságos találkozón.
2016. szeptember 1-jén szerzete első nemzeti gólját Olaszország ellen, egy barátságos mérkőzésen a San Nicola Stadionban.
